Comment comprendre un tableau de variations ?

Le tableau indique les intervalles sur lesquelles la fonction est croissante ou décroissante, l'image des nombres pour lesquels la fonction admet une valeur maximale et minimale. Ainsi voit-on, sur un tableau, deux lignes : <ul> <li>La première ligne, relative aux nombres-clés de l'ensemble de définition : les valeurs délimitant les intervalles de la fonction,</li> <li>La seconde ligne, relative aux changements de variation de la fonction.</li> </ul> Logiquement, une flèche descendante indique que la fonction est décroissante. A l'inverse, une flèche montante informe que la fonction est devenue croissante. Pour dresser votre tableau de variations, aidez-vous de notre article !

Comment remplir un tableau des signes ?

Commencez par distinguer les zones où la fonction devient croissante et décroissante. Ensuite, pour chacune des zones repérées, déterminez l'intervalle des abscisses : les extrémités inférieure et supérieure. Les reporter sur la première ligne du tableau. Faites ensuite correspondre dans la deuxième ligne une flèche montante pour chaque intervalle où la fonction est croissante, et une flèche descendante lorsqu'elle est décroissante. Repérez l'image de f sur la courbe pour chaque nombre de la première ligne du tableau. Pour dresser votre tableau de variations, aidez-vous de notre article !

Comment faire un tableau de fonction ?

Pour tracer un graphique représentant cette fonction, il suffit de placer son minimum et son maximum sur le repère et de faire un petit tableau qui nous aide à poser quelque points particuliers. Pour découvrir le tableau qui vous aidera à dresser votre tableau de fonction, découvrez notre article !

Pourquoi est-il important de connaître les variations d'une fonction ?

Connaître les variations d'une fonction permet de comprendre son comportement global, d'identifier ses points les plus hauts (maximums) et bas (minimums), et de tracer sa courbe représentative avec une grande précision.

Peut-on construire un tableau de variation sans calculer la dérivée ?

Oui, pour des fonctions très simples (comme une fonction affine f(x) = ax+b) ou si l'on dispose de la représentation graphique. Dans ce dernier cas, il suffit de "lire" sur la courbe où elle monte et où elle descend. Cependant, pour la majorité des fonctions étudiées au lycée, le calcul de la dérivée est l'outil le plus fiable et rigoureux.

Comment dresser un tableau de variations ?

En mathématiques, et surtout au lycée, l'étude de fonction est un passage obligé. Au cœur de cette analyse se trouve un outil puissant mais parfois redouté : le tableau de variation. À quoi sert-il ? Comment le construire sans se tromper ?

Pas de panique ! Cet article est conçu en deux parties :

D'abord, un guide simple, étape par étape, pour que n'importe qui puisse comprendre et dresser un tableau de variation

Ensuite, une section plus détaillée pour ceux qui veulent approfondir, avec des exemples concrets et des astuces pour éviter les erreurs classiques

C'est quoi un tableau de variation ?

Un tableau de variation est un outil mathématique qui résume le comportement d'une fonction. Il montre, à l'aide de flèches, sur quels intervalles la fonction "monte" (elle est croissante) ou "descend" (elle est décroissante). Il permet aussi de repérer facilement ses points les plus hauts (maximum) et les plus bas (minimum).

Suivez le guide, les variations de fonctions n'auront bientôt plus de secret pour vous !

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Partie 1 : La méthode simple pour dresser un tableau de variation en 4 étapes

Oubliez les formules complexes pour l'instant. Construire un tableau de variation suit une logique¹ en 4 étapes claires. Nous allons les parcourir ensemble.

Étape	Action	Objectif
1. Calculer la dérivée	Déterminer l'expression de la dérivée (f'(x)).	Connaître le comportement de la fonction.
2. Étudier le signe de la dérivée	Résoudre (f'(x)=0) et analyser les intervalles où la dérivée est positive ou négative.	Déterminer où la fonction est croissante ou décroissante.
3. Identifier les points importants	Repérer les valeurs où la dérivée s'annule ou n'existe pas, ainsi que les éventuels extremums.	Mettre en évidence les minima, maxima et points critiques.
4. Dessiner le tableau de variation	Reporter les intervalles de croissance et de décroissance ainsi que les valeurs de la fonction aux points clés.	Obtenir une représentation claire des variations de la fonction.

Etape 1 : calculer la dérivée de la fonction

La première étape, incontournable, est de calculer la fonction dérivée, notée f'(x). C'est la dérivée qui va nous donner le "sens de la pente" de notre courbe.

Pour une fonction simple (polynôme)

La dérivée de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

La dérivée de $\text{[math]}$ est $\text{[math]}$ .

La dérivée d'un nombre seul (une constante) est toujours $\text{[math]}$ .

On dérive chaque terme de la fonction l'un après l'autre.

Pour la fonction $\text{[math]}$ , sa dérivée est $\text{[math]}$ .

Pour une fonction produit ou quotient

La règle du produit : si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .
La règle du quotient : si $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ .

Astuce: garder l'ordre des termes

On dérive séparément u et v, puis on applique la formule en gardant l’ordre des termes. Pour le quotient, n’oubliez pas le carré du dénominateur.

Prenons $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Alors $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Pour le produit : $\text{[math]}$ et la dérivée $\text{[math]}$ .

Pour le quotient : $\text{[math]}$ et la dérivée $\text{[math]}$ .

Pièges fréquents

Attention à ne pas oublier v² au dénominateur dans le quotient et à ne pas inverser l’ordre u′v−uv′.

Etape 2 : étudier le signe de cette dérivée

C'est l'étape la plus importante ! Le signe de la dérivée $\text{[math]}$ nous dit tout sur les variations de la fonction $\text{[math]}$ :

Si $\text{[math]}$ est positive (+) sur un intervalle, alors la fonction $\text{[math]}$ est croissante (elle monte ↗) sur cet intervalle.
Si $\text{[math]}$ est négative (-) sur un intervalle, alors la fonction $\text{[math]}$ est décroissante (elle descend ↘) sur cet intervalle.

Pour trouver le signe, on cherche d'abord les valeurs où la dérivée s'annule $\text{[math]}$ . Ces valeurs sont les "points critiques" où la fonction peut changer de sens.

Exemple reformulé : Pour notre dérivée $\text{[math]}$ , on cherche quand elle est égale à zéro. On trouve que cela se produit pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . On peut alors construire un tableau de signes pour $\text{[math]}$ .

Etape 3 : identifier les points importants (extremums)

Les "points critiques" trouvés à l'étape 2 (où la dérivée s'annule) correspondent à des sommets ou des creux sur la courbe. On les appelle les extremums.

Calculez la valeur de la fonction $\text{[math]}$ pour chacun de ces points.

Pour notre fonction $\text{[math]}$ :

pour $\text{[math]}$ , on calcule $\text{[math]}$ . Il s'agit du maximum local
pour $\text{[math]}$ , on calcule $\text{[math]}$ . Il s'agit du minimum local.

Etape 4 : dessiner le tableau de variation

Vous avez maintenant toutes les informations ! Il ne reste plus qu'à les assembler dans un tableau propre.

Première ligne $\text{[math]}$ : Écrivez les bornes du domaine de définition (souvent $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ) et les valeurs critiques trouvées à l'étape 2, dans l'ordre croissant.
Deuxième ligne (signe de $\text{[math]}$ ) : Indiquez le signe (+ ou -) de la dérivée sur chaque intervalle. Mettez un "0" sous les valeurs critiques.
Troisième ligne (variation de $\text{[math]}$ ) : Dessinez les flèches. Une flèche qui monte (↗) si le signe est +, une flèche qui descend (↘) si le signe est -.
Complétez avec les valeurs : Au bout des flèches, écrivez les valeurs des extremums calculées à l'étape 3, ainsi que les limites de la fonction aux bornes (si demandées).

Et voilà ! Vous avez dressé votre tableau de variation. Il est important de faire des exercices² pour comprendre la méthode.

Partie 2 pour les passionnés : analyse détaillée et exemples

Maintenant que la méthode est claire, plongeons dans les détails techniques pour maîtriser parfaitement l'étude de fonctions.

Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?

Un tableau de variation est un outil de synthèse mathématique. Il résume sur deux ou trois lignes toutes les informations essentielles sur le comportement d'une fonction :

La première ligne indique les valeurs clés de x sur l'ensemble de définition

La dernière ligne utilise des flèches pour représenter la monotonie de la fonction (si elle est croissante ou décroissante)

Il permet de visualiser immédiatement où se situent les extremums (maximums et minimums locaux).

Pourquoi utiliser un tableau de variation ?

Le tableau de variation condense, en quelques lignes, tout ce qu’il faut savoir sur le “comportement” d’une fonction. Il évite les calculs répétitifs et prépare un tracé propre et argumenté.

1️⃣ Le tableau de variation permet de comprendre le comportement global :

Le signe de la dérivée f′ permet de savoir où la fonction est croissante (f′ > 0) ou décroissante (f′ <0) d’un seul coup d’œil.

Les changements de signe de f′ indiquent immédiatement les zones de montée/descente et la structure globale (ex. “↗ puis ↘ puis ↗”)
Les limites en −∞ et +∞, et aux éventuelles bornes ou asymptotes donnent le “cadre” du graphe (tend vers +∞, −∞, une valeur finie, etc.).

Une femme écrit des formules mathématiques sur un tableau.

2️⃣ Le tableau de variation permet de trouver rapidement maxima et minima sur un intervalle :

Aux points où f′ s’annule et change de signe :
- de + à − → maximum local,
- de − à + → minimum local.
Sur un intervalle fermé [a; b], le tableau de variation permet de comparer en un clin d’œil f(a), f(b) et les valeurs en points critiques (où f′ = 0 ou f′ n’existe pas) pour déterminer les extrema globaux, sans passer par des essais/erreurs.

3️⃣ Le tableau de variation permet de préparer un tracé précis et propre de la courbe :

En réunissant variations, valeurs clés (images de quelques abscisses utiles), limites et éventuelles asymptotes, on obtient un “plan de construction” fiable de la courbe.
Les transitions (↗/↘) autour des extremums guident la forme locale (bosse/creux) et réduisent les risques d’erreur de croquis.
Le tableau sert aussi de support d’explication: chaque élément du graphe est justifié (par un signe de dérivée, une limite, une valeur calculée).

Astuce pratique

Remplissez d’abord la ligne de f′ (signe, zéros, non-dérivabilité), puis déduisez la ligne de f (↗/↘). Ajoutez ensuite limites et valeurs remarquables.

Cela servira pour vos cours de maths, ainsi que pour mieux réviser avec les annales bac.

Des exemples pratiques de tableaux de variation

Voici quelques exemples supplémentaires³pour aller plus loin.

Exemple 1 : la fonction quadratique

Prenons la fonction $\text{[math]}$ .

Etape 1 : la dérivée est $\text{[math]}$ .
On résout $\text{[math]}$ . Résultat : $\text{[math]}$ .
Sur l'intervalle −∞ et 2, f est positive donc elle est croissante et sur l'intervalle 2 et +∞, f est négative, donc elle est décroissante.
Calculons maintenant l'extremum : $\text{[math]}$ .

La fonction est croissante sur (−∞, 2) et décroissante sur (2, +∞).

Tableau de variation d'une fonction quadratique. — Voici le tableau de variation pour notre exemple.

Exemple 2 : la fonction polynomiale de degré supérieur

Reprenons notre exemple $\text{[math]}$ sur l'intervalle $\text{[math]}$ .

1️⃣ La dérivée est $\text{[math]}$

2️⃣ Pour étudier le signe de ce polynôme du second degré, on factorise. On remarque que $\text{[math]}$ . Pour factoriser ce trinôme il faut tout d'abord calculer le discriminant et trouver les racines x₁et x₂. On calcule le discriminant $\text{[math]}$ pour le trinôme $\text{[math]}$ , ce qui nous donne les racines $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . La forme factorisée est donc $\text{[math]}$ . Le tableau de signes de f'(x) est le suivant :

x	- ∞	-3	[-3 ; 1]	1	+∞
x + 3	-	0		+	+
x - 1	-	-		0	+
f'(x)	+	0	-	0	+

3️⃣ Les extremums : On a déjà calculé $\text{[math]}$ (maximum local) et $\text{[math]}$ (minimum local).

4️⃣ On obtient le tableau de variation final :

Schéma représentant un tableau de variation. — Voici à quoi doit ressembler votre tableau de variation.

@mrle_chiffre

Tableau de variations d’une fonction #apprendresurtiktok #maths #bac #lycee #seconde ...

♬ son original - Mr le chiffre

Les erreurs courantes et nos conseils pour éviter les pièges

Attention car il est facile de se tromper quand on s'attaque au tableau de variation. Comme toujours en cours de maths, il est indispensable d'être attentif !

Type d'erreur	Erreur concrète	Exemple de résolution
Erreur dans le calcul de la dérivée	Oublier qu'une constante a une dérivée nulle.	Pour (f(x)=3x+5), la dérivée est (f'(x)=3) et non (3+5), car ((5)'=0).
	Se tromper dans les formules du produit ou du quotient.	Pour (f(x)=x(x+2)), appliquer la formule du produit : (f'(x)=1(x+2)+x(1)=2x+2).
	Faire une erreur de signe en dérivant un terme négatif.	Pour (f(x)=-x^2+4), la dérivée est (f'(x)=-2x) et non (2x).
Mauvaise interprétation du signe de la dérivée	Confondre le signe de (f'(x)) avec celui de (f(x)).	Si (f'(x)>0), la fonction est croissante, même si (f(x)) prend des valeurs négatives. Par exemple, (f(x)=x-5) est croissante sur (\mathbb{R}) car (f'(x)=1>0).
	Inverser les variations de la fonction.	Si (f'(x)<0) sur un intervalle, la fonction est décroissante sur cet intervalle. Il faut donc tracer une flèche descendante dans le tableau de variation.

Les erreurs dans le calcul de la dérivée

On a listé trois erreurs courantes que vous pouvez faire dès le calcul de la dérivée.

1️⃣ Vous pouvez d'abord oublier qu'une constante à une dérivée nulle

Si $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ car $\text{[math]}$ .

Exemple : $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ et pas $\text{[math]}$ .

Vous pourriez être tenté de dériver 7 en 1 ou de garder +7 dans f'(x).

2️⃣ Vous pouvez également vous tromper dans les formules produit et quotient

Pour le produit $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

✅ Ce qui est correct

$\text{[math]}$

❌ L'erreur fréquente

Oublier le second terme

Pour le quotient $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ :

✅ Ce qui est correct

$\text{[math]}$

❌ L'erreur fréquente

C'est de calculer $\text{[math]}$ ou de calculer $\text{[math]}$ .

Notre astuce

Mémorisez u’v — uv’ sur v². L'ordre et le signe "moins" sont importants.

3️⃣ Vous pouvez enfin faire des erreurs de signe en dérivant des termes comme $\text{[math]}$ . N'oubliez pas que $\text{[math]}$ et que le signe "-" devant le monôme se conserve.

✅ Ce qui est correct

$\text{[math]}$

❌ L'erreur fréquente

Vous oubliez le signe - et le -15 se transforme en 15 ou vous appliquez la mauvaise règle de puissance

Et oui la factorisation, c'est comme résoudre une énigme mathématiques en cours de maths.

Nos conseils anti-erreurs

Pour un produit, dites à voix haute: “d’abord je dérive u, puis v; puis je garde u, je dérive v; et j’additionne”.
Pour un quotient, écrivez d’emblée le dénominateur au carré v2 , puis remplissez le numérateur “u’v − uv’”.

Une mauvaise interprétation du signe de la dérivée

L'erreur la plus fréquente est de confondre le signe de la fonction $\text{[math]}$ avec celui de sa dérivée $\text{[math]}$ .

C'est le signe de $\text{[math]}$ qui donne les variations de $\text{[math]}$ .

Si $\text{[math]}$ sur un intervalle alors $\text{[math]}$ y est croissante
Si $\text{[math]}$ peut être négative tout en étant croissante (ex : de −10 à −2, la fonction “monte” car les valeurs augmentent).
Ce comportement se lit dans $\text{[math]}$ , indépendamment du signe de $\text{[math]}$ .

Conseil pratique

Faites deux tableaux distincts si besoin :
1) un tableau de signes pour f'(x) (zéros, intervalles de +/−)
2) puis le tableau de variation pour f(x) (↗/↘ et extremums)

Maîtriser le tableau de variation d'une fonction en cours de mathématiques permet de vous faire gagner des points lors du contrôle continu : ce n'est donc pas un chapitre du programme de maths à négliger !

Et si vous preniez des cours particuliers pour étudier d'autres aspects des maths ? Tangente, axe des abscisses, fonction définie ou cosinus : autant de thèmes à aborder pendant un cours de maths en ligne !

Alors, comment faire un tableau de variation ?

🏆 Il existe deux méthodes pour faire un tableau de variation
⚠️ Attention aux erreurs fréquentes
💻 Choisissez les bons outils pour faire le tableau

Sources

Excellence Maths, Tableau de variation d'une fonction, https://www.excellence-maths.fr/ressource/tableau-de-variation-fonction/, consulté le 31 juillet 2026
Galilé AC, Dresser le tableau de variation, https://galilee.ac/cours-exercices-maths/mathematiques-seconde/etude-de-fonctions/15-dresser-le-tableau-de-variation, consulté le 31 juillet 2026
Maths et Tiques, Fonctions et Variations, https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19FonctionVariationsM.pdf, consulté le 31 juillet 2026

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andra

Comprendre et construire le tableau de variation d'une fonction : le guide complet

Partie 1 : La méthode simple pour dresser un tableau de variation en 4 étapes

Etape 1 : calculer la dérivée de la fonction

Pour une fonction simple (polynôme)

Pour une fonction produit ou quotient

Pièges fréquents

Etape 2 : étudier le signe de cette dérivée

Etape 3 : identifier les points importants (extremums)

Etape 4 : dessiner le tableau de variation

Partie 2 pour les passionnés : analyse détaillée et exemples

Qu'est-ce qu'un tableau de variation ?

Pourquoi utiliser un tableau de variation ?

Des exemples pratiques de tableaux de variation

Exemple 1 : la fonction quadratique

Exemple 2 : la fonction polynomiale de degré supérieur

Les erreurs courantes et nos conseils pour éviter les pièges

Les erreurs dans le calcul de la dérivée

Une mauvaise interprétation du signe de la dérivée

Sources

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Les questions fréquentes

Comment comprendre un tableau de variations ?

Comment remplir un tableau des signes ?

Comment faire un tableau de fonction ?

Pourquoi est-il important de connaître les variations d'une fonction ?

Peut-on construire un tableau de variation sans calculer la dérivée ?